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>[转]浅看傅立叶变换

>【本文引自心心水滴http://123xxoo.123bbx.com/thread-2697-1-1.html】
大名鼎鼎傅立叶变换的原理和公式,在我辈看来,很复杂很强大。所幸对于我们大多数人来说,需要的只是宏观上理解它,并知道怎么应用它。

搜集整理了一些网上相关的资料,宏观的,浅显的,尽量易懂的来介绍下傅立叶转换。

傅里叶变换(Transformée de Fourier)是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提 出,所以以其名字来命名以示纪念。Fourier transform 或 Transformée de Fourier有多种中文译名,常见的有“傅里叶变换”、“傅里叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、“傅立叶变换”、“付立叶变换”、“富里叶变换 ”、“富里哀变换”等等。

从哲学的高度看傅立叶变换:
傅立叶变换属于调和分析的内容分析二字,可以解释为深入的研究。从字面上来看,分析二字,实际就是分缕析而已。它通过对函数的条分缕析来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看,分析主义还原主义,就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子,而原子不过数百种而已,相对物质世界的无限丰富,这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。
在数学领域,也是这样,尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。任意函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类,这一想法跟化学上的原子论想法何其相似!奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇。

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。

    [*]傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的
    [*] 傅里叶变换属于谐波分析。
    [*]傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
    [*]傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提 供了计算卷积的一种简单手段;
    [*]离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的实现(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).

相关的几个重要概念:

1。简谐运动:是最简单的周期运动,可以由正弦函数y=Asin(ωt+φ)和余弦函数y=Acos(ωt+θ)表示。其中y称为振动的位移,A叫做振幅,ωt+φ或ωt+θ叫做位相,φ和θ叫初位相。T=2pi/ω叫做简谐振动的周期,f=1/T叫做频率
2。简谐振动的的合成:任何复杂的周期性振动都可以看成是由频率成整数倍的简谐振动合成的简谐振动合成的。其中频率最低的振动称为基波,基波的周期和频率与合振动相同。
3。时域和频域:以时间t为自变量,以位移x为因变量的函数称为时域函数,即振动波形;以频率为横坐标,位移为纵坐标的坐标系叫做频域,在其上所描述的函数称为频率函数
4。傅立叶变换:将时域变为频域的变换,称之为傅立叶正变换;而将频域变为时域的变换,称之为傅立叶逆变换。傅立叶分析提供了获取频域信息的一种较为完整的方法,它使我们利用频率、幅值和相位来描述时域中的振动波形。

【更多可以参考Wiki】

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